Tout nombre de 3 chiffres en progression arithmétique est divisible par 3.

Dans les bouchons de la circulation automobile, je m’amuse à décomposer les nombres figurant sur les plaques d’immatriculation des voitures. J’ai eu l’occasion de remarquer que lorsque les chiffres étaient en progression arithmétique ils étaient systématiquement divisibles par 3.

Est-ce bien toujours vrai ?

Soit r la raison de la progression arithmétique et n le chiffre des centaines.

Un tel nombre peut s’écrire :

100 n + 10 (n + r) + (n + 2 r) = 111 n + 12 r = 3 (37 n + 4 r)

Donc tout nombre de 3 chiffres en progression arithmétique est divisible par 3.

D’autre part, puisqu’il est divisible par 3, il répond évidemment au critère classique de la divisibilité par 3. La somme de ses chiffres est donc un nombre multiple de 3, ce qui prouve, étant donnée la commutativité de l’addition dans N, que l’ordre des chiffres n’a aucune importance.